Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且對(duì)于任意n∈N*都有S_n=2n-a_n．
（Ⅰ）計(jì)算a₁，a₂，a₃，a₄；
（Ⅱ）猜想該數(shù)列的通項(xiàng)公式a_n，并用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想的正確性．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法

專題：綜合題,點(diǎn)列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（Ⅰ）由題設(shè)條件，分別令n=1，2，3，4，能夠求出a₁，a₂，a₃，a₄．
（Ⅱ）由（Ⅰ）猜想數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式，檢驗(yàn)n=1時(shí)等式成立，假設(shè)n=k時(shí)命題成立，證明當(dāng)n=k+1時(shí)命題也成立．

解答： 解：（Ⅰ）因?yàn)镾_n=2n-a_n，
所以a₁=1，a₂=

3

2

，a₃=

7

4

，a₄=

15

8

；
（Ⅱ）猜想a_n=

2n-1

2n-1

證明：①n=1時(shí)成立
②假設(shè)n=k時(shí)成立，即a_k=

2k-1

2k-1

則n=k+1時(shí)，S_k+1=2（k+1）-a_k+1，又S_k=2k-a_k，
兩式相減得：2a_k+1=2+a_k，
∴由假設(shè)及上式得：a_k+1=

2k+1-1

2k

所以n=k+1時(shí)也成立
由①②知a_n=

2n-1

2n-1

，n∈N₊時(shí)成立

點(diǎn)評(píng)：本題是中檔題，考查數(shù)列遞推關(guān)系式的應(yīng)用，數(shù)學(xué)歸納法證明數(shù)列問題的方法，考查邏輯推理能力，計(jì)算能力．注意在證明n=k+1時(shí)用上假設(shè)，化為n=k的形式．