Question

2．如圖為一簡(jiǎn)單組合體，其底面ABCD為正方形，PD⊥平面ABCD，EC∥PD，且PD=AD=2EC=2，N為線段PB的中點(diǎn)．
（Ⅰ）證明：NE⊥PD；
（Ⅱ）求三棱錐E-PBC的體積．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連結(jié)AC與BD交于點(diǎn)F，則F為BD的中點(diǎn)，連結(jié)NF，由三角形中位線定理可得NF∥PD，$NF=\frac{1}{2}PD$，在結(jié)合已知得四邊形NFCE為平行四邊形，得到NE∥AC．再由PD⊥平面ABCD，得AC⊥PD，從而證得NE⊥PD；
（Ⅱ）由PD⊥平面ABCD，得平面PDCE⊥平面ABCD，可得BC⊥CD，則BC⊥平面PDCE．然后利用等積法把三棱錐E-PBC的體積轉(zhuǎn)化為B-PEC的體積求解．

解答 （Ⅰ）證明：連結(jié)AC與BD交于點(diǎn)F，則F為BD的中點(diǎn)，連結(jié)NF，
∵N為線段PB的中點(diǎn)，∴NF∥PD，且$NF=\frac{1}{2}PD$，
又EC∥PD且$EC=\frac{1}{2}PD$，
∴NF∥EC且NF=EC．
∴四邊形NFCE為平行四邊形，
∴NE∥FC，即NE∥AC．
又∵PD⊥平面ABCD，AC?面ABCD，
∴AC⊥PD，
∵NE∥AC，∴NE⊥PD；
（Ⅱ）解：∵PD⊥平面ABCD，PD?平面PDCE，
∴平面PDCE⊥平面ABCD，
∵BC⊥CD，平面PDCE∩平面ABCD=CD，BC?平面ABCD，
∴BC⊥平面PDCE．
三棱錐E-PBC的體積${V_{E-PBC}}={V_{B-PEC}}=\frac{1}{3}{S_{△PEC}}•BC$=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×1×2×2=\frac{2}{3}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查空間中直線與直線的位置關(guān)系，考查了線面垂直的性質(zhì)，訓(xùn)練了利用等積法求多面體的體積，是中檔題．