Question

設(shè)為實數(shù)，函數(shù)。
①求的單調(diào)區(qū)間與極值；
②求證：當(dāng)且時，。

Answer 1

（1）解：由
令，得于是當(dāng)的變化情況如下：

	-	0	+

故的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是，在處取得極小值，極小值為
（2）設(shè)。對于任意的＞0，所以在R內(nèi)單調(diào)遞增。
得到。

解析試題分析：（1）解：由
令，得于是當(dāng)的變化情況如下：

	-	0	+

故的單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是，在處取得極小值，極小值為
（2）證：設(shè)。由(1)知＞時，＞0
于是對于任意的＞0，所以在R內(nèi)單調(diào)遞增。
于是當(dāng)＞時，對任意的＞
而=0，從而對于任意的，＞0.
即＞0，故
考點：本題主要考查導(dǎo)數(shù)計算，應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式。
點評：典型題，在給定區(qū)間，導(dǎo)數(shù)值非負，函數(shù)是增函數(shù)，導(dǎo)數(shù)值為非正，函數(shù)為減函數(shù)。求極值的步驟：計算導(dǎo)數(shù)、求駐點、討論駐點附近導(dǎo)數(shù)的正負、確定極值。不等式證明中，構(gòu)造函數(shù)是關(guān)鍵。本題利用“本解法”，直觀明了。