Question

已知向量

a

=（sin2x，cos2x），

b

=（

1

2

，

3

2

），x∈R，且f（x）=

a

•

b

+|

a

|+|

b

|．
（1）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（2）若x∈[

π

6

，

2π

3

]，求函數(shù)f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

考點：平面向量數(shù)量積的運算,三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,正弦函數(shù)的圖象

專題：計算題,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì),平面向量及應(yīng)用

分析：（1）運用平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示和向量的模的公式，結(jié)合兩角和的正弦公式，以及正弦函數(shù)的增區(qū)間，解不等式即可得到所求區(qū)間；
（2）由x的范圍，可得2x+

π

3

的范圍，再由正弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，即可得到最值．

解答： 解：（1）∵向量

a

=（sin2x，cos2x），

b

=（

1

2

，

3

2

），x∈R，
∴f（x）=

a

•

b

+|

a

|+|

b

|=

1

2

sin2x+

3

2

cos2x+1+1=sin（2x+

π

3

）+2，
∵2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，
∴kπ-

5π

12

≤x≤kπ+

π

12

，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

]（k∈Z）；
（2）∵x∈[

π

6

，

2π

3

]，
∴2x∈[

π

3

，

4π

3

]∴2x+

π

3

∈[

2π

3

，

5π

3

]，
∴當(dāng)2x+

π

3

=

2π

3

，即x=

π

6

時，f（x）有最大值，且為

3

2

+2；
當(dāng)2x+

π

3

=

3π

2

，即x=

7π

12

時，f（x）有最小值，且為1．

點評：本題考查平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示和性質(zhì)，考查正弦函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和值域，考查運算能力，屬于中檔題．