Question

16．已知函數(shù)f（x）=xlnx-a（x-1）²-x+1，a∈R．
（1）當(dāng)a=0時(shí)，求曲線(xiàn)y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線(xiàn)方程；
（2）若對(duì)任意x∈（1，+∞），f（x）＜0恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．

Answer 1

分析 （1）當(dāng)a=0時(shí)，化簡(jiǎn)f（x）求出導(dǎo)數(shù)f'（x），求出切點(diǎn)坐標(biāo)與斜率，然后求解曲線(xiàn)y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線(xiàn)方程．
（2）由題 f'（x）=lnx-2a（x-1），x∈（1，+∞）．令g（x）=f'（x），求出導(dǎo)函數(shù)．①當(dāng)a≤0時(shí)，②當(dāng)a＞0時(shí)，（i）若$\frac{1}{2a}≤1$．（ii）若$\frac{1}{2a}＞1$，分別求解函數(shù)的單調(diào)性與判斷求解即可．

解答 解：（1）當(dāng)a=0時(shí)，f（x）=xlnx-x+1，則f（1）=0，f'（x）=lnx，∴f'（1）=0，∴曲線(xiàn)y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處的切線(xiàn)方程為y=0．
（2）由題 f'（x）=lnx-2a（x-1），x∈（1，+∞）．
令g（x）=f'（x），則$g'（x）=\frac{1-2ax}{x}$．
①當(dāng)a≤0時(shí)，在x＞1時(shí)，g'（1）＞0，從而g（x）＞g（1）=0，∴f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增，
∴f（x）＞f（1）=0，不合題意．
②當(dāng)a＞0時(shí)，令g'（x）=0，可解得$x=\frac{1}{2a}$．
（i）若$\frac{1}{2a}≤1$，即$a≥\frac{1}{2}$，在x＞1時(shí)，g'（x）＜0，∴g（x）＜g（1）＜0，
∴f（x）在（1，+∞）上為減函數(shù)，∴f（x）＜f（1）=0符合題意．
（ii）若$\frac{1}{2a}＞1$，即$0＜a＜\frac{1}{2}$，
當(dāng)$x∈（{1，\frac{1}{2a}}）$時(shí)，g'（x）＞0，∴f（x）在$（{1，\frac{1}{2a}}）$時(shí)，g（x）＞g（1）=0，
∴f（x）在$（{1，\frac{1}{2a}}）$上單調(diào)遞增，從而$x∈（{1，\frac{1}{2a}}）$時(shí)，f（x）＞f（1）＞0不合題意．
綜上所述，若f（x）＜0對(duì)x∈（1，+∞）恒成立，則$a≥\frac{1}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，函數(shù)的單調(diào)性以及函數(shù)的極值，考查轉(zhuǎn)化思想以及分類(lèi)討論思想的應(yīng)用，考查計(jì)算能力．