Question

4．已知函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，且在區(qū)間[0，+∞）單調(diào)遞增．若實數(shù)a滿足f（log₂a）+f（log${\;}_{\frac{1}{2}}$a）＜2f（1），則a的取值范圍（　�。�

• A． [1，2]
• B． （0，$\frac{1}{2}$]
• C． （$\frac{1}{2}$，2）
• D． （0，2]

Answer 1

分析 函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，+∞）單調(diào)遞增且為偶函數(shù)，f（log₂a）+f（log${\;}_{\frac{1}{2}}$a）＜2f（1）等價轉(zhuǎn)化為f（|log₂a|）＜f（1）；

解答 解：∵函數(shù)f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，
∴f（log₂a）+f（log${\;}_{\frac{1}{2}}$a）＜2f（1）⇒f（log₂a）＜f（1）；
∵函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，+∞）單調(diào)遞增，且為偶函數(shù)，
∴f（log₂a）＜f（1）⇒f（|log₂a|）＜f（1）；
所以，-1＜log₂a＜1?$\frac{1}{2}$＜a＜2；
故選：C．

點評 本題主要考查了函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、對數(shù)基本運算以及轉(zhuǎn)化思想應(yīng)用，屬中等題．