Question

已知△ABC的內角A、B、C成等差數(shù)列，且A、B、C所對的邊分別為a、b、c，則下列命題中正確的有________(把所有正確的命題序號都填上)．

①B＝；                    

②若a、b、c成等比數(shù)列，則△ABC為等邊三角形；

③若a＝2c，則△ABC為銳角三角形；   

④若則3A＝C；

⑤若tan A＋tan C＋＞0，則△ABC為鈍角三角形．

Answer 1

①②④   

[解析]∵內角A、B、C成等差數(shù)列，∴A＋C＝2B．

又A＋B＋C＝π．∴B＝，故①正確；

對于②，由余弦定理得b²＝a²＋c²－2ac·cos B＝a²＋c²－ac．

又b²＝ac，∴a²＋c²－ac＝ac，即(a－c)²＝0，∴a＝c，又B＝，∴△ABC為等邊三角形；

對于③，∵b²＝a²＋c²－2accos B＝4c²＋c²－2c²＝3c²，

∴b＝c，此時滿足a²＝b²＋c²，說明△ABC是直角三角形；

對于④，c²＝bccos A＋accos B＋abcos C＝ac＋b(ccos A＋acos C)

＝ac＋b²＝ac＋a²＋c²－ac，化簡得c＝2a，又b²＝a²＋c²－ac＝3a²，∴b＝a，

∴tan A＋tan C＝－＋tan Atan C，∵tan A＋tan C＋＝tan Atan C＞0，

又在△ABC中，A、C不能同為鈍角，∴A、C都是銳角，∴△ABC為銳角三角形．