Question

在三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，側(cè)棱AA₁⊥底面ABC，且△ABC為正三角形，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，BC=BB₁．
（1）求證：A₁C∥平面AB₁D；
（2）M為棱CC₁的中點(diǎn)，試證明：MB⊥AB₁．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與平面垂直的性質(zhì),直線與平面平行的判定

專題：空間位置關(guān)系與距離

分析：（1）連接A₁B交AB₁于E，從而得到ED是三角形的中位線，由此能證明A₁C∥平面AB₁D．
（2）由BC=BB₁，得AB₁⊥A₁B，連結(jié)EM，得EM⊥平面A₁B₁BA，從而得到A₁C⊥EM，進(jìn)而得到A₁C⊥平面A₁BM，由此能證明MB⊥AB₁．

解答： 證明：（1）連接A₁B交AB₁于E，
由題意知E是A₁B中點(diǎn)，
∵點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)，∴在△A₁CB中ED是三角形的中位線，
∴ED∥A₁C，
∵ED?平面AB₁D，A₁C不包含于平面AB₁D，
∴A₁C∥平面AB₁D．
（2）∵BC=BB₁，∴A₁B₁BA是菱形，∴AB₁⊥A₁B，
連結(jié)EM，AM，B₁M，BM，A₁M，
∵E是AB₁中點(diǎn)，M是CC₁中點(diǎn)，
∴EM⊥平面A₁B₁BA，∴A₁C⊥EM，
∴A₁C⊥平面A₁BM，
∵M(jìn)B?平面A₁BM，∴MB⊥AB₁．

點(diǎn)評：本題考查直線與平面平行的證明，考查異面直線垂直的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意空間思維能力的培養(yǎng)．