Question

【題目】已知函數(shù)（）．

（1）當時，求函數(shù)的極值點；

（2）若函數(shù)在區(qū)間上恒有，求實數(shù)的取值范圍；

（3）已知，且，在（2）的條件下，證明數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列．

Answer 1

【答案】（Ⅰ）的極大值點為，極小值點為;（Ⅱ）;（Ⅲ）見解析.

【解析】試題分析：（1）求導，利用導函數(shù)的零點，研究導函數(shù)的符號變化，進而確定函數(shù)的極值點；（2）求導、作差、分離常數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為， ，再轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題；（3）利用數(shù)學歸納法進行證明.

試題解析：（1）當時， ，

.

令得： .

又，且時， ， 時， .

所以，函數(shù)的極大值點為，極小值點為.

（2）因為，由，得，

即， .

又（∵）,∴.

（3）①當時， ,又 , ∴，且，

∴ .

∴，即當時結(jié)論成立．

②假設(shè)當時，有，且，則當時，

．

∴， 即當時結(jié)論成立．

由①，②知數(shù)列是單調(diào)遞增數(shù)列．