【題目】設(shè)是以為焦點的拋物線，是以直線與的漸近線，以為一個焦點的雙曲線.

（1）求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；

（2）若與在第一象限有兩個公共點，求的取值范圍，并求的最大值；

（3）是否存在正數(shù)，使得此時的重心恰好在雙曲線的漸近線上？如果存在，求出的值；如果不存在，說明理由.

【答案】（1）（2）；9；（3）存在正數(shù)，

【解析】

（1）可知焦點坐標(biāo)在軸上，可設(shè)，再根據(jù)兩條漸近線與得出關(guān)系式，再由焦點是，結(jié)合即可求得雙曲線方程；

（2）由與在第一象限內(nèi)有兩個公共點和，聯(lián)立雙曲線和拋物線方程，可得的取值范圍；設(shè)，用坐標(biāo)表示，利用韋達(dá)定理及配方法，可得的最大值；

（3）由（2）及重心公式可得的重心，，即，，假設(shè)恰好在雙曲線的漸近線上，代入漸近線方程，即可求得結(jié)論．

（1）由題可知焦點為，故焦點在軸上，設(shè)雙曲線的方程為

是以直線與為漸近線，

，，，雙曲線方程為；

（2）拋物線的焦點，，聯(lián)立雙曲線方程消得：，

可得，與在第一象限內(nèi)有兩個公共點和，，

設(shè)，則

將代入得，函數(shù)的對稱軸為，，時，的最大值為9；

（3）由（2）知的重心為，，

，，

假設(shè)恰好在雙曲線的漸近線上，代入可得，，或，，

存在正數(shù)，使得此時的重心恰好在雙曲線的漸近線上

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（Ⅱ）在抽出的100名志愿者中按年齡再采用分層抽樣法抽取20人參加中心廣場的宣傳活動，從這20人中選取2名志愿者擔(dān)任主要負(fù)責(zé)人，記這2名志愿者中“年齡低于30歲”的人數(shù)為，求的分布列及數(shù)學(xué)期望.

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