已知xi＞0（i=1，2，3，4）且x1+x2+x3+x4=1，求證：x1log2x1+x2log2x2+x3log2x3+x4log2x4≥-2．
考點：不等式的證明
專題：不等式的解法及應用
分析：設x1+x2=m，x3+x4=n，則m＞0，n＞0，且
x1
m
+
x2
m
=1，
x3
n
+
x4
n
=1，m+n=1，由此入手能夠證明x1log2x1+x2log2x2+x3log2x3+x4log2x4≥-2．
解答： 證明：設x1+x2=m，x3+x4=n，
則m＞0，n＞0，且
x1
m
+
x2
m
=1，
x3
n
+
x4
n
=1，m+n=1，
∴
x1
m
log2
x1
m
+
x2
m
log2
x2
m
≥-1①，
x3
n
log2
x3
n
+
x4
n
log2
x4
n
≥-1②，
mlog2m+nlog2n≥-1③，
由①式得x1（log2x1-log2m）+x2（log2x2-log2m）≥-m，
∴x1log2x1+x2log2x2≥-m+mlog2m
同理：由②得到：x3log2x3+x4log2x4≥-n+nlog2n，
∴x1log2x1+x2log2x2+x3log2x3+x4log2x4≥-（m+n）+（mlog2m+nlog2n），
由③式和m+n=1得到：x1log2x1+x2log2x2+x3log2x3+x4log2x4≥-2．
∴x1log2x1+x2log2x2+x3log2x3+x4log2x4≥-2．
點評：本題考查不等式的證明，解題時要認真審題，注意等價轉(zhuǎn)化思想的合理運用．
練習冊系列答案
相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

定義在R上的函數(shù)f（x），對任意實數(shù)x∈R，都有f（x+3）≤f（x）+3和f（x+2）≥f（x）+2成立，且f（1）=2，求f（13）．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

下列說法正確的是
 

①常數(shù)列既是等差數(shù)列，又是等比數(shù)列
②實數(shù)等差數(shù)列中，若公差d＜0，則數(shù)列必是遞減數(shù)列
③實數(shù)等比數(shù)列中，若公比q＞1，則數(shù)列必是遞增數(shù)列
④首項為a1，公比為q的等比數(shù)列的前n項和為Sn=
a1(1-qn)
1-q

⑤若數(shù)列an=n2+λn（n∈N*）為單調(diào)遞增數(shù)列，則λ的取值范圍是λ＞-3．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

已知數(shù)列{an}，a1=2，an=2an-1+2n（n≥2）
（1）求證：{
an
2n
}為等差數(shù)列；
（2）求{an}的前n項和Sn．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

（文）已知數(shù)列{an}滿足：a1=1，an+an+1=4n，Sn是數(shù)列{an}的前n項和．
（1）求數(shù)列{an}的通項公式；
（2）設數(shù)列{
1
Sn+1-1
}的前n項和為Kn，證明：對于任意的n∈N*，都有Kn＜
3
4
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設（1+x+x2）n=a0+a1x+a2x2+…+a2nx2n，那么a2+a4+…+a2n=
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

不等式ax2+bx+1＞0的解集為{x|-3＜x＜2}，則a+b=
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

利用數(shù)學歸納法證明“（n+1）（n+2）…（n+n）=2n×1×3×…×（2n-1），n∈N*”時，從假設n=k推證n=k+1成立時，可以在n=k時左邊的表達式上再乘一個因式，多乘的這個因式為
 
．

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

定義在（0，+∞）上的函數(shù)f（x）滿足：①當x∈[1，3）時，f（x）=1-|x-2|；②f（3x）=3f（x）．設關(guān)于x的函數(shù)F（x）=f（x）-a的零點從小到大依次為x1，x2，…，xn，…．若a∈（1，3），則x1+x2+…+x2014=
 
．

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