Question

定義在（0，+∞）上的函數(shù)f（x）滿足：①當(dāng)x∈[1，3）時，f（x）=1-|x-2|；②f（3x）=3f（x）．設(shè)關(guān)于x的函數(shù)F（x）=f（x）-a的零點從小到大依次為x₁，x₂，…，x_n，…．若a∈（1，3），則x₁+x₂+…+x₂₀₁₄=

 

．

Answer 1

考點：函數(shù)零點的判定定理

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：利用已知可得：當(dāng)x∈[3，6]時，由

x

3

∈[1，2]，可得f（x）=3f（

x

3

），f（x）∈[0，3]；同理，當(dāng)x∈（6，9）時，f（x）∈[0，3]；此時f（x）∈[0，3]．分別作出y=f（x），y=a，則F（x）=f（x）-a在區(qū)間（3，6）和（6，9）上各有一個零點，分別為x₁，x₂，且滿足x₁+x₂=2×6，依此類推：x₃+x₄=2×18，…，x₂₀₁₃+x₂₀₁₄=2×2×3¹⁰⁰⁷．利用等比數(shù)列的前n項和公式即可得出．

解答： 解：∵①當(dāng)x∈[1，3）時，f（x）=1-|x-2|∈[0，1]；②f（3x）=3f（x）．
∴當(dāng)

1

3

≤x＜時，則1≤3x＜3，由f（x）=

1

3

f（3x）可知：f（x）∈[0，

1

3

]．
同理，當(dāng)x∈（0，

1

3

）時，0≤f（x）＜1，
當(dāng)x∈[3，6]時，由

x

3

∈[1，2]，可得f（x）=3f（

x

3

），f（x）∈[0，3]；
同理，當(dāng)x∈（6，9）時，由

x

3

∈（2，3），可得f（x）=3f（

x

3

），f（x）∈[0，3]；
此時f（x）∈[0，3]．
當(dāng)a∈（1，3）時．
則F（x）=f（x）-a在區(qū)間（3，6）和（6，9）上各有一個零點，分別為x₁，x₂，且滿足x₁+x₂=2×6，
依此類推：x₃+x₄=2×18，…，x_2n-1+x_2n=2×2×3ⁿ．
∴當(dāng)a∈（1，3）時，x₁+x₂+…+x₂₀₁₃+x₂₀₁₄=4×（3+3²+…+3¹⁰⁰⁷）=4×3×

31007-1

3-1

=6×（3¹⁰⁰⁷-1），
故答案為：6×（3¹⁰⁰⁷-1）．

點評：本題考查了函數(shù)的圖象與性質(zhì)、區(qū)間轉(zhuǎn)換、對稱性、等比數(shù)列的前n項和公式等基礎(chǔ)知識與基本技能，屬于難題．