Question

已知關(guān)于x的不等式ax²-2ax+1＞0
（1）若對于一切實(shí)數(shù)x都成立，求a的取值范圍；
（2）若對于a∈[1，2]恒成立，求x的取值范圍．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì),函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）討論a的取值，判斷ax²-2ax+1是否為二次函數(shù)，顯然討論a=0，和a≠0兩種情況，當(dāng)為二次函數(shù)時，根據(jù)判別式的取值即可求出a的取值范圍；
（2）先由原不等式得到關(guān)于a的函數(shù)（x²-2x）a+1，所以討論x²-2x從而判斷該函數(shù)是否為一次函數(shù)，所以分x²-2x=0，x²-2x＞0，x²-2x＜0三種情況進(jìn)行討論，然后根據(jù)一次函數(shù)的單調(diào)性，求出該函數(shù)在[1，2]上的最小值，讓最小值滿足大于0即可得到x的取值范圍．

解答： 解：（1）①若a=0，則得到1＞0，對一切的實(shí)數(shù)x都成立；
②若a≠0，原不等式要對一切實(shí)數(shù)x都成立則：

a＞0 △=4a2-4a＜0

；
解得0＜a＜1；
∴綜上得a的取值范圍為[0，1）；
（2）由原不等式得，（x²-2x）a+1＞0；
①若x²-2x=0，即x=0，或2，此時1＞0，滿足對于a∈[1，2]原不等式恒成立；
②若x²-2x＞0，即x＞2，或x＜0，關(guān)于a的一次函數(shù)（x²-2x）a+1是增函數(shù)；
∴在[1，2]上的最小值x²-2x+1＞0，即x≠1；
∴x＞2，或x＜0；
③若x²-2x＜0，即0＜x＜2，關(guān)于a的函數(shù)（x²-2x）a+1是減函數(shù)；
∴該函數(shù)在[1，2]上的最小值2x²-4x+1＞0，即x＞1+

2

2

，或x＜1-

2

2

；
∴1+

2

2

＜x＜2；
∴綜上得x的取值范圍為(-∞，0]∪(1+

2

2

，+∞)．

點(diǎn)評：考查一元二次不等式的解集為R時判別式△的取值情況，一次函數(shù)的單調(diào)性，以及根據(jù)一次函數(shù)的單調(diào)性求其最小值，解一元二次不等式．