Question

如下一列數(shù)：

1

1×2

，

1

2×3

，

1

3×4

，…，

1

n(n+1)

，…其中前n個數(shù)的和記作s_n，計算s₁，s₂，s₃，s₄的值，觀察這些計算結(jié)果存在的規(guī)律，推測出計算s_n的公式，并用數(shù)學(xué)歸納法作出證明．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)學(xué)歸納法

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：直接利用已知條件求出s₁，s₂，s₃，s₄的值，觀察計算結(jié)果的規(guī)律，推測出計算s_n的公式，然后利用數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟證明即可．

解答： 解：s1=

1

2

，s2=

2

3

，s3=

3

4

，s4=

4

5

，sn=

n

n+1

以下用數(shù)學(xué)歸納法證明：

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…

1

n(n+1)

=

n

n+1

當(dāng)n=1時，左=右=

1

2

假設(shè)當(dāng)n=k時，

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…

1

k(k+1)

=

k

k+1

成立
假設(shè)當(dāng)n=k+1時，

1

1×2

+

1

2×3

+

1

3×4

+…

1

(k+1)(k+2)

=

k

k+1

+

1

(k+1)(k+2)

=

k+1

k+2

，
這就是說n=k+1時，猜想也成立．
對任意自然數(shù)正數(shù)n，sn=

n

n+1

都成立．

點(diǎn)評：本題考查歸納推理，以及數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，考查邏輯推理能力以及計算能力．