Question

已知集合A={x|0＜ax+1≤5}，B={x|-

1

2

＜x≤2}．
（1）若A⊆B，求實數(shù)a的取值范圍；
（2）若A∩B=B，求實數(shù)a的取值范圍；
（3）是否存在實數(shù)a使得A∪B=A∩B？若存在，求出a的值；若不存在，試說明理由．

Answer 1

考點：子集與交集、并集運算的轉(zhuǎn)換

專題：計算題,集合

分析：A中不等式的解應(yīng)該分三種情況討論確定：①當(dāng)a=0時，A=R；②當(dāng)a＜0時，A={x|

4

a

≤x＜-

1

a

}；③若a＞0，則A=A={x|-

1

a

≤x≤

4

a

}．
（1）由A⊆B討論集合A可得；
（2）由A∩B=B知B⊆A，做法與（1）相同；
（3）由A∪B=A∩B得A=B，即（1）（2）同時滿足，可得a．

解答： 解：（1）若a＜0，若A⊆B，則

4 a ＞- 1 2 - 1 a ≤2

⇒a＜-8
若a＞0，若A⊆B，則

4 a ≤2 - 1 a ≥- 1 2

⇒a≥2
故由A⊆B得，a的取值范圍是{a|a＜-8，或a≥2}．
（2）由A∩B=B知：B⊆A，
當(dāng)a=0時，顯然B⊆A；
當(dāng)a＜0時，若B⊆A，則

4 a ≤- 1 2 - 1 a ＞2

⇒-

1

2

＜a＜0，
當(dāng)a＞0時，若B⊆A，則

4 a ≥2 - 1 a ＜- 1 2

⇒0＜a≤2，
若A∩B=B，則實數(shù)a的取值范圍是{a|-

1

2

＜a≤2}
（3）由A∪B=A∩B得：A=B，
即A⊆B，B⊆A，
結(jié)合（1）、（2）知：a=2．

點評：本題考查了分類討論的數(shù)學(xué)思想，注意分類的標(biāo)準(zhǔn)，同時考查了集合的化簡與集合之間包含關(guān)系的應(yīng)用，屬于中檔題．