Question

如圖，在直三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，側面ABB₁A₁是邊長為2的正方形，直角三角形邊滿足AC=BC，E是CB₁上的點，且BE⊥平面ACB₁．
（Ⅰ）求證：AC⊥平面BB₁C；
（Ⅱ）求二面角B-AB₁-C的平面角的余弦值．

Answer 1

考點：用空間向量求平面間的夾角,直線與平面垂直的判定,二面角的平面角及求法

專題：空間位置關系與距離,空間向量及應用

分析：（Ⅰ）由已知得BB₁⊥平面ABC，BB₁⊥AC，AC⊥BC，由此能證明AC⊥平面BB₁C．
（Ⅱ）以C為原點，CA為x軸，CB為y軸，CC₁為z軸，建立空間直角坐標系，利用向量法能求出二面角B-AB₁-C的余弦值．

解答： （Ⅰ）證明：∵在直三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，
BB₁⊥平面ABC，
∴BB₁⊥AC，
∵直角三角形邊滿足AC=BC，
∴AC⊥BC，
又BC∩BB₁，∴AC⊥平面BB₁C．
（Ⅱ）解：以C為原點，CA為x軸，CB為y軸，CC₁為z軸，
建立空間直角坐標系，
∵側面ABB₁A₁是邊長為2的正方形，直角三角形邊滿足AC=BC，
∴2AC²=4，解得AC=BC=

2

，
B（0，

2

，0），A（

2

，0，0），B₁（0，

2

，2），C（0，0，0），

AB1

=（-

2

，

2

，2），

AB

=（-

2

，

2

，0），
設平面BAB₁的法向量

n

=（x，y，z），
則

AB1 • n =- 2 x+ 2 y+2z=0 AB • n =- 2 x+ 2 y=0

，
取x=

2

，得

n

=（1，1，0），

CA

=(

2

，0，0)，

CB1

=(0，

2

，2)，
設平面AB₁C的法向量

m

=（a，b，c），

CA • m = 2 a=0 CB1 • m = 2 b+2c=0

，
取b=

2

，得

m

=（0，

2

，1），
設二面角B-AB₁-C的平面角為θ，
cosθ=cos＜

n

，

m

＞=

2

2 • 3

=

3

3

．

點評：本題考查直線與平面垂直的證明，考查二面角的余弦值的求法，解題時要認真審題，注意向量法的合理運用．