Question

已知直線y=x-1和橢圓

x2

m

+

y2

m-1

=1交于A、B兩點，如果以AB為直徑的圓經(jīng)過橢圓的左焦點，求m的值．

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：由題意可求出c，聯(lián)立方程再用韋達定理簡化運算，由題意可知

AF1

•

BF1

=0，從而求出m．

解答： 解：由題意，a²=m，b²=m-1，c²=1，
聯(lián)立直線方程和橢圓方程可得

x2 m + y2 m-1 =1 y=x-1

，
消y化簡可得，
（2m-1）x²-2mx+2m-m²=0，
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由韋達定理可得，x₁+x₂=

2m

2m-1

，x₁x₂=

2m-m2

2m-1

；
∵

AF1

•

BF1

=0，
∴（x₁+1）（x₂+1）+y₁y₂=0，
又∵y₁y₂=（x₁-1）（x₂-1）=x₁x₂-（x₁+x₂）+1，
∴x₁x₂+1=0，
即

2m-m2

2m-1

+1=0，
解得m=2±

3

，
又∵m-1＞0，
∴m=2+

3

．

點評：本題考查了直線與圓錐曲線的位置關系，化簡比較有技巧，屬于中檔題．