已知幾何體A-BCED的三視圖如圖所示,其中俯視圖和側(cè)視圖都是腰長為4的等腰直角三角形,正視圖為直角梯形.

(1)求此幾何體的體積V的大;
(2)求異面直線DE與AB所成角的余弦值;
(3)求二面角A-ED-B的正弦值.
考點(diǎn):異面直線及其所成的角,棱柱、棱錐、棱臺(tái)的體積,二面角的平面角及求法
專題:計(jì)算題
分析:(1)通過已知條件可知,AC⊥底面BCED,再求出梯形BCED的面積,根據(jù)三棱錐的體積公式即可求出體積.
(2)先找到異面直線所成的角,可過B作DE的平行線,則角ABF便是異面直線所成的角,根據(jù)條件求出即可.
(3)先找出二面角的平面角,過C作CG⊥ED,并交ED于G,連接AG,則∠AGC即是所找的二面角的平面角,根據(jù)條件求出即可.
解答: 解:(1)∵∠ACE,∠ACB都是直角,∴AC⊥BC,AC⊥CE,CB∩CE=C,CB?平面BCED,CE?平面BCED;
∴AC⊥平面BCED.
∴V=
1
3
SBCED•AC=
1
3
×12×4=16

(2)取CE中點(diǎn)F,連接BF,則BF∥DE,則∠ABF即異面直線DE與AB所成的角,連接AF.
在△ABF中,AB=4
2
,BF=2
5
,AF=2
5
;
∴由余弦定理得:cos∠ABF=
BF2+AB2-AF2
2BF•AB
=
20+32-20
2×2
5
×4
2
=
10
5
;
異面直線DE與AB所成角的余弦值是
10
5

(3)過C作CG⊥DE,交DE于G,連接AG,∵AC⊥平面BCED,ED?平面BCED,∴AC⊥ED;
∴ED⊥平面ACG,AG?平面ACG,∴ED⊥AG,∴∠AGC是二面角A-ED-B的平面角;
在Rt△ACG中,AC=4,CG=
4
20
=
8
5
5
,∠ACG=90°;
∴tan∠AGC=
4
8
5
5
=
5
2
,sin∠AGC=
5
3
點(diǎn)評(píng):求異面直線所成角時(shí),通過作另一直線的平行線,找出這個(gè)角,然后把它放在一個(gè)三角形里去求即可.求二面角時(shí),先找到二面角的平面角,然后把它放在一個(gè)三角形里去求即可.
練習(xí)冊(cè)系列答案
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已知函數(shù)f(x)=
(3-a)x+2(x≤2)
a2x2-9x+11(x>2)
,(a>0,且a≠1),若數(shù)列{an}滿足an=f(n),(n∈N+),且{an}是遞增數(shù)列,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( 。
A、(0,1)
B、[
8
3
,3)
C、(1,3)
D、(2,3)

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橢圓
x2
a2
+
y2
b2
=1短軸的一個(gè)端點(diǎn)與兩個(gè)焦點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)等邊三角形,則橢圓離心率為( 。
A、
1
2
B、
2
2
C、
3
2
D、
3
3

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已知函數(shù)f(x)=
1
3
x3+ax+4.
(1)討論f(x)的單調(diào)性;
(2)求函數(shù)f(x)在區(qū)間[0,3]上的最小值g(a).

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已知
a
=(
3
,-1),
b
=(
1
2
3
2
).
(1)證明:
a
b
;
(2)若存在實(shí)數(shù)k和t,滿足
x
=(t,2)
a
+(t2-t-5)
b
y
=-k
a
+4
b
,且
x
y
,試求出k關(guān)于t的關(guān)系式k=f(t).
(3)根據(jù)(2)的結(jié)論,試求出k=f(t)在(-2,2)上的最小值.

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在一個(gè)邊長為100cm的正方形ABCD中,以A為圓心半徑為90cm做一四分之一圓,分別與AB,AD相交,在圓弧上取一點(diǎn)P,PE垂直BC于E點(diǎn),PF垂直CD于F點(diǎn).
問:當(dāng)∠PAB等于多少時(shí),矩形PECF面積最大?

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已知α是第二象限角,f(α)=
sin(π-α)tan(-α-π)
sin(π+α)cos(2π-α)tan(-α)

(Ⅰ)化簡f(α);(Ⅱ)若cos(α-
2
)=-
1
3
,求f(α)的值.

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求下列函數(shù)的定義域:
①f(x)=
x-1
;
②f(x)=
1
x+1

③f(x)=(2x-1)0

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