Question

已知函數(shù)f（x）=

1

3

x³+ax+4．
（1）討論f（x）的單調(diào)性；
（2）求函數(shù)f（x）在區(qū)間[0，3]上的最小值g（a）．

Answer 1

考點(diǎn)：利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,利用導(dǎo)數(shù)求閉區(qū)間上函數(shù)的最值

專題：導(dǎo)數(shù)的概念及應(yīng)用

分析：（1）先求導(dǎo)，通過(guò)討論a的取值，討論函數(shù)的單調(diào)性．
（2）利用導(dǎo)數(shù)通過(guò)分類討論求出函數(shù)的最小值．

解答： 解：（1）f'（x）=x²+a．
①當(dāng)a≥0時(shí)，f'（x）=x²+a≥0，故f（x）在R上為增函數(shù)．
②當(dāng)a＜0，f'（x）=x²+a，
令f'（x）=0，解得x=-

-a

或x=

-a

所以函數(shù)f（x）在（-∞，-

-a

）和（

-a

，+∞）內(nèi)單調(diào)遞增，在（-

-a

，

-a

）內(nèi)單調(diào)遞減．
（2）當(dāng)a≥0時(shí)，f'（x）=x²+a≥0，故f（x）在R上為增函數(shù)．
∴f（x）在[0，3]上單調(diào)遞增，
∴f（x）在x=0處取得最小值，且f（0）=4．
 ②當(dāng)a＜0時(shí)，
（i）當(dāng)0＜

-a

＜3，即-9＜a＜0時(shí)，由（1）知f（x）在[0，

-a

]上單調(diào)遞減，（

-a

，+∞）上單調(diào)遞增，
∴f（x）在x=

-a

處取得最小值，且f（

-a

）=

1

3

(

-a

)3+a•

-a

+4=

4a -a

3

+4．
（ii）當(dāng)

-a

≥3，即a≤-9時(shí)，由（1）知f（x）在[0，3]上單調(diào)遞減，
∴f（x）在x=3處取得最小值，且f（3）=（x）=

1

3

×3³+3a+4=13+3a
綜上所述，g（a）=

4，a≥0 4a -a 3 +4，-9＜a＜0 13+3a，a≤-9

點(diǎn)評(píng)：本題的考點(diǎn)是函數(shù)的單調(diào)性和最值與導(dǎo)數(shù)之間的關(guān)系．對(duì)應(yīng)含有參數(shù)的函數(shù)的單調(diào)性要對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論．