Question

已知函數(shù)f（x）=|x-1|+|x+2|．
（1）求函數(shù)f（x）=|x-1|+|x+2|的值域；
（2）若對任意實數(shù)a，b（b≠0），|b|f（x）≤|a+3b|+|a-2b|恒成立，求實數(shù)x的取值范圍．

Answer 1

考點：絕對值不等式的解法

專題：不等式的解法及應用

分析：（1）利用絕對值三角不等式的幾何意義即可求得函數(shù)f（x）=|x-1|+|x+2|的值域；
（2）依題意，f（x）≤

|a+3b|+|a-2b|

|b|

=|

a

b

+3|+|

a

b

-2|，又|

a

b

+3|+|

a

b

-2|≥5，于是得|x-1|+|x+2|≤5，通過分類討論，去掉絕對值符號，解之即可．

解答： 解：（1）∵f（x）=|x-1|+|x+2|≥|（1-x）+（x+2）|=3，
∴函數(shù)f（x）=|x-1|+|x+2|的值域為[3，+∞）…（5分）
（2）因為b≠0，所以f（x）≤

|a+3b|+|a-2b|

|b|

=|

a

b

+3|+|

a

b

-2|對任意實數(shù)a，b（b≠0）恒成立，|
由絕對值三角不等式的性質(zhì)可得：|

a

b

+3|+|

a

b

-2|≥5，…8分
所以f（x）≤5，即|x-1|+|x+2|≤5…10分
當x＜-2時，1-x-x-2≤5，解得：-3≤x＜-2；
當-2≤x≤1時，1-x+x=2=3≤5恒成立；
當x＞1時，x-1+x+2≤5，解得：1＜x≤2…11分
綜上所述，實數(shù)x的取值范圍為[-3，2]…12分

點評：本題考查絕對值不等式的解法，著重考查絕對值三角不等式的性質(zhì)及其應用，考查轉(zhuǎn)化思想與運算求解能力，屬于中檔題．