Question

【題目】已知函數 的定義域為 ，若對于任意的 ， ，都有 ，且當 時，有 ．

（1）證明： 為奇函數；

（2）判斷 在 上的單調性，并證明；

（3）設 ，若 （ 且 ）對 恒成立，求實數 的取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2） 在 上為單調遞增函數；（3）

【解析】試題分析：（1）令x=y=0可得f（0）=0，令y=-x及奇函數的定義即得證；
（2）根據函數單調性的定義即可判斷f（x）在[-2，2]上的單調性，并證明；
（3）結合函數單調性和奇偶性的性質以及對數函數的性質將不等式恒成立進行轉化即可得到結論．

試題解析：

（1） 令 ，

所以 ，

令 ，

所以 ，

所以 ，故 為奇函數

（2） 在 上為單調遞增函數．

任取 ，

所以 ，

所以 ，

因為 是定義在 上的奇函數，

所以 ，

所以 ，

所以 在 上為單調遞增函數

（3） 因為 在 上為單調遞增函數，

所以 ，

因為 對 恒成立，

所以 ，

當 時，

所以 ；

當 時，

所以 ．