Question

已知f（x）=sin（2x+

π

6

）+

1

2

-m²
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；
（2）求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；
（3）當x∈[-

π

6

，

π

3

]時，f（x）的最小值是-4，求此時函數(shù)f（x）的最大值，并求出相應(yīng)的x的值．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用,三角函數(shù)的周期性及其求法

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）由周期公式可得；（2）由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

解不等式可得單調(diào)遞增區(qū)間；（3）由x的范圍可得sin（2x+

π

6

）的范圍，表示最小值，可得m²=4，代入解析式可得函數(shù)的最大值及相應(yīng)的x的值．

解答： 解：（1）∵f（x）=sin（2x+

π

6

）+

1

2

-m²，
∴函數(shù)f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π；
（2）由2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

可得kπ-

π

3

≤x≤kπ+

π

6

，
∴函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[kπ-

π

3

，kπ+

π

6

]（k∈Z）；
（3）當x∈[-

π

6

，

π

3

]時，2x+

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]，
∴sin（2x+

π

6

）∈[-

1

2

，1]，
∴f（x）的最小值是為-

1

2

+

1

2

-m²=-4，解得m²=4
∴此時函數(shù)f（x）的最大值為1+

1

2

-m²=-

5

2

，
由2x+

π

6

=

π

2

可得x=

π

6

，故相應(yīng)的x的值為

π

6

．

點評：本題考查三角函數(shù)的恒等變換，涉及三角函數(shù)的周期性和單調(diào)性以及最值，屬基礎(chǔ)題．