Question

（本小題滿分10分）如圖，在長方體中，，，與相交于點，點在線段上（點與點不重合）．

（1）若異面直線與所成角的余弦值為，求的長度;

（2）若，求平面與平面所成角的正弦值．

Answer 1

（１）或． （２）

【解析】

試題分析：（1）先建立空間直角坐標系，設(shè)，利用空間向量數(shù)量積可求兩向量夾角：，解得或，因此或．

（2）求二面角，關(guān)鍵求出平面的法向量，設(shè)平面的一個法向量為，根據(jù)，可得，同理設(shè)平面的一個法向量為，根據(jù)可得，因此二面角滿足：∴．

試題解析：（1）以為一組正交基底，建立如圖所示的空間直角坐標系，

由題意，知,，

，，.設(shè)，

∴，.

設(shè)異面直線與所成角為，

則，

化簡得：,解得：或，

或． 5分

（2）∵，∴，

,，,，

設(shè)平面的一個法向量為，

∴，∴，即，取，，

設(shè)平面的一個法向量為，

∴，∴，即，取，，

設(shè)平面與平面所成角為，

∴，

∴． １０分

考點：利用空間向量求線線角及二面角

考點分析： 考點1：異面直線所成的角 考點2：線面所成的角 試題屬性

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