Question

已知雙曲線(xiàn)C₁：

x2

a2

-

y2

b2

=1和雙曲線(xiàn)C₂：

y2

a2

-

x2

b2

=1，其中b＞a＞0，且雙曲線(xiàn)C₁與C₂的交點(diǎn)在兩坐標(biāo)軸上的射影恰好是兩雙曲線(xiàn)的焦點(diǎn)，則雙曲線(xiàn)C₁的離心率是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：雙曲線(xiàn)的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專(zhuān)題：計(jì)算題,圓錐曲線(xiàn)的定義、性質(zhì)與方程

分析：由題意，可得兩雙曲線(xiàn)在第一象限的交點(diǎn)為（c，c），代入雙曲線(xiàn)方程，可得

c2

a2

-

c2

b2

=1，進(jìn)一步可得e⁴-3e²+1=0，即可求出雙曲線(xiàn)C₁的離心率．

解答： 解：由題意，可得兩雙曲線(xiàn)在第一象限的交點(diǎn)為（c，c），
代入雙曲線(xiàn)方程，可得

c2

a2

-

c2

b2

=1，
∴b²c²-a²c²=a²b²，
∴（c²-a²）c²-a²c²=a²（c²-a²），
∴e⁴-3e²+1=0，
∵e＞1，
∴e=

5 +1

2

．
故答案為：

5 +1

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查雙曲線(xiàn)的離心率，考查學(xué)生的計(jì)算能力，確定a，c的關(guān)系是關(guān)鍵．