Question

已知集合M={-1，2，-3，4，…[（-1）ⁿ]n}，n∈N⁺，將集合M的所有非空子集元素求和，將此和記為a_n，
（1）求數(shù)列{a_2n}的通項公式；
（2）另b_n=

a2n

2n-1n

+（-1）ⁿ⁺¹，求證：

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

＜

4

3

．

Answer 1

考點：數(shù)列與不等式的綜合

專題：計算題,證明題,等差數(shù)列與等比數(shù)列,集合,不等式

分析：（1）由題意可知，集合中的元素出現(xiàn)的次數(shù)都是相等的，從而確定每個元素出現(xiàn)的次數(shù)，從而利用并項求和求數(shù)列{a_2n}的通項公式；
（2）由（1）代入b_n=

a2n

2n-1n

+（-1）ⁿ⁺¹化簡，結合要證明的結論可知，要用到指數(shù)函數(shù)與冪函數(shù)的增長速度的相關知識，故結合形式可知，應用2ⁿ≥n²；重點是確定在那個地方放縮即可．

解答： 解：（1）若M={-1，2，-3，4，…[（-1）²ⁿ]2n}，
則集合M的所有非空子集中，集合M中的任何一個元素出現(xiàn)的次數(shù)都是相等的；
考查-1出現(xiàn)的次數(shù)，
可看成集合{2，-3，4，…[（-1）²ⁿ]2n}的子集個數(shù)，
故共有2^2n-1個-1，
故a_2n=2^2n-1（-1+2-3+4-5+6…-（2n-1）+2n）=n•2^2n-1，
即a_2n=n•2^2n-1．
（2）證明：b_n=

a2n

2n-1n

+（-1）ⁿ⁺¹=2ⁿ+（-1）ⁿ⁺¹，
則b₁=2+1=3，b₂=4-1=3，b₃=8+1=9，
b₄=16-1=15，
故當n≥4時，b_n=2ⁿ+（-1）ⁿ⁺¹≥n²-1；
故

1

b1

+

1

b2

+…+

1

bn

=

1

3

+

1

3

+

1

9

+

1

15

+…+

1

2n+(-1)n+1

＜

1

3

+

1

3

+

1

9

+

1

15

+

1

52-1

+

1

62-1

+…+

1

n2-1

=

2

3

+

1

9

+

1

15

+

1

4

-

1

6

+

1

5

-

1

7

+…+

1

n-1

-

1

n+1

=

2

3

+

1

9

+

1

15

+

1

4

+

1

5

-

1

n

-

1

n+1

＜

2

3

+

1

9

+

1

15

+

1

4

+

1

5

＜

4

3

．

點評：本題考查了集合的子集，同時考查了數(shù)列與不等式，屬于難題．