Question

已知橢圓C的中心為O，左焦點(diǎn)為F（-1，0），且過(guò)點(diǎn)（

3

，

3

2

）．
（1）求橢圓C的方程；
（2）若點(diǎn)P為橢圓上的任意一點(diǎn)，求

OP

•

FP

的最大值．

Answer 1

考點(diǎn)：直線與圓錐曲線的關(guān)系,橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程

專(zhuān)題：計(jì)算題,平面向量及應(yīng)用,圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：（1）設(shè)橢圓的方程為：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），則c=1，即a²-b²=1，

3

a2

+

3

4b2

=1，解出即可得到；
（2）設(shè)P（2cosα，

3

sinα），運(yùn)用向量的數(shù)量積的坐標(biāo)公式，化簡(jiǎn)配方，再由余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)，即可得到最大值．

解答： 解：（1）設(shè)橢圓的方程為：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），
則c=1，即a²-b²=1，

3

a2

+

3

4b2

=1，
解得，a²=4，b²=3，
則橢圓方程為：

x2

4

+

y2

3

=1；
（2）設(shè)P（2cosα，

3

sinα），
則

OP

•

FP

=（2cosα，

3

sinα）•（2cosα+1，

3

sinα），
=2cosα（2cosα+1）+3sin²α=cos²α+2cosα+3，
=（cosα+1）²+2，由于-1≤cosα≤1，
則cosα=1時(shí)，取得最大值，且為6．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的方程和性質(zhì)，考查平面向量的數(shù)量積的坐標(biāo)表示及三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．