Question

6．已知橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)為F（1，0），且點(diǎn)$P（1，\frac{3}{2}）$在橢圓上．
（1）求該橢圓的方程；
（2）過橢圓上異于其頂點(diǎn)的任意一點(diǎn)Q作圓x²+y²=3的兩條切線，切點(diǎn)分別為M，N（M，N不在坐標(biāo)軸上），若直線MN在x軸，y軸上的截距分別為m，n，證明$\frac{a^2}{n^2}+\frac{b^2}{m^2}$為定值；
（3）若P₁，P₂是橢圓C₁：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{{3{y^2}}}{b^2}$=1上不同的兩點(diǎn)，P₁P₂⊥x軸，圓E過P₁，P₂且橢圓C₁上任意一點(diǎn)都不在圓E內(nèi)，則稱圓E為該橢圓的一個(gè)內(nèi)切圓，試問：橢圓C₁是否存在過左焦點(diǎn)F₁的內(nèi)切圓？若存在，求出圓心E的坐標(biāo)；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （1）由橢圓右焦點(diǎn)為F（1，0），得F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），由且點(diǎn)$P（1，\frac{3}{2}）$在橢圓上，根據(jù)橢圓定義知|PF₁|+|PF₂|=2a，由此能求出橢圓方程．
（2）設(shè)Q（x₀，y₀），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），則l_QM：x₁x+y₁y=3，l_QN：x₂x+y₂y=3，推導(dǎo)出$m=\frac{3}{{x}_{0}}$，n=$\frac{3}{{y}_{0}}$，從而$\frac{9}{4{m}^{2}}+\frac{3}{{n}^{2}}$=1，由此能證明$\frac{a^2}{n^2}+\frac{b^2}{m^2}$為定值．
（3）不妨設(shè)P₁（m，n），P₂（m，-n），圓心E（t，0），圓E：（x-t）²+y²=（m-t）²+n²，由內(nèi)切圓定義知，橢圓上的點(diǎn)到圓心E的距離的最小值為|P₁E|，由此能求出在這樣的內(nèi)切圓，圓心為（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0）．

解答 解：（1）∵橢圓$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}$=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)為F（1，0），且點(diǎn)$P（1，\frac{3}{2}）$在橢圓上，
∴F₁（-1，0），F(xiàn)₂（1，0），∴c=1，
由橢圓定義知|PF₁|+|PF₂|=$\sqrt{（-1-1）^{2}+（0-\frac{3}{2}）^{2}}$+$\sqrt{（1-1）^{2}+（0-\frac{3}{2}）^{2}}$=2a=4，解得a=2，
∴橢圓方程為$\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}$=1．
證明：（2）設(shè)Q（x₀，y₀），M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
則l_QM：x₁x+y₁y=3，l_QN：x₂x+y₂y=3，
∵Q（x₀，y₀）在直線l_QM，l_QN上，
∴$\left\{\begin{array}{l}{{x}_{1}{x}_{0}+{y}_{1}{y}_{0}=3}\\{{x}_{2}{x}_{0}+{y}_{2}{y}_{0}=3}\end{array}\right.$，
∴點(diǎn)（x₁，y₁），（x₂，y₂）均在直線x₀x+y₀y=3上，
即l_MN：x₀x+y₀y=3，由此得$m=\frac{3}{{x}_{0}}$，n=$\frac{3}{{y}_{0}}$，
∵（x₀，y₀）滿足$\frac{{{x}_{0}}^{2}}{4}+\frac{{{y}_{0}}^{2}}{3}=1$，即$\frac{9}{4{m}^{2}}+\frac{3}{{n}^{2}}$=1，
∴$\frac{{a}^{2}}{{n}^{2}}+\frac{^{2}}{{m}^{2}}$=$\frac{3}{{m}^{2}}+\frac{4}{{n}^{2}}$=$\frac{4}{3}$，
∴$\frac{a^2}{n^2}+\frac{b^2}{m^2}$為定值$\frac{4}{3}$．
解：（3）不妨設(shè)P₁（m，n），P₂（m，-n），圓心E（t，0），
∴圓En：（x-t）²+y²=（m-t）²+n²，
由內(nèi)切圓定義知，橢圓上的點(diǎn)到圓心E的距離的最小值為|P₁E|，
設(shè)M（x，y）是橢圓C₁上任意一點(diǎn)，
|ME|²=（x-t）²-y²=$\frac{3}{4}{x}^{2}-2tx+{t}^{2}+1$，
當(dāng)x=m時(shí)，|ME|²最小，∴m=$\frac{4t}{3}$，①
假設(shè)橢圓C₁上存在F₁的內(nèi)切圓，則（-$\sqrt{3}$-t）²=（m-t）²+n²，②
又P₁（m，n）在橢圓C₁上，即${n}^{2}=1-\frac{{m}^{2}}{4}$，③
由①②③，得：t=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$或t=-$\sqrt{3}$，
當(dāng)t=-$\sqrt{3}$時(shí)，m=-$\frac{4\sqrt{3}}{3}$＜-2不合題意，舍去，
經(jīng)驗(yàn)證t=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$滿足條件，
綜上，存在這樣的內(nèi)切圓，圓心為（-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，0）．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程的求法，考查代數(shù)式和為定值的證明，考查滿足條件的圓是否存在的判斷與求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓性質(zhì)的合理運(yùn)用．