Question

如圖，半圓O是一個湖面的平面示意圖，其直徑AB=8百米，為了便與游
客觀光休閑，擬在觀光區(qū)鋪設(shè)一條從入口A到出口B的觀光棧道，棧道由線段AD、線段DC及線段CB組成．其中點C為弧BD上一點，且線段AD=2百米．
（1）若線段CD=2百米，求線段BC的長；
（2）求整個觀光棧道的最大值．

Answer 1

考點：余弦定理

專題：解三角形

分析：（1）連接BD，利用圓周角定理得到AD垂直于BD，在直角三角形ADB中，利用勾股定理求出BD的長，表示出sin∠ABD的值，利用等邊對等角得到∠CBD=∠ABD，確定出cos∠CBD的值，利用余弦定理列出關(guān)系式，求出BC的長即可；
（2）由y=AD+DC+CB，利用正弦定理表示出DC與CB，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個角的正弦函數(shù)，由正弦函數(shù)的值域確定出最大值即可．

解答： 解：（1）連接BD，則AD⊥BD，
在Rt△ADB中，AD=2百米，AB=8百米，
根據(jù)勾股定理得：BD=

82-22

=2

15

（百米），sin∠ABD=

AD

AB

=

1

4

，
∵AD=CD=4百米，
∴∠CBD=∠ABD，
∴cos∠CBD=cos∠ABD=

1-sin2∠ABD

=

15

4

，
在△BCD中，由余弦定理得：CD²=BD²+BC²-2BD•BC•cos∠CBD，即4=60+BC²-2×2

15

•BC•

15

4

，
解得：BC=7或8，
∵點C為弧BD上一點，
∴BC=7百米；
（2）令y=AD+DC+CB，sinC=sin（π-A）=sinA=

15

4

，cosC=cos（π-A）=-cosA=-

1

4

，
由正弦定理

BD

sinC

=

DC

sin∠CBD

=

CB

sin∠CDB

=

2 15

15 4

=8，
DC=8sin∠CBD，CB=8sin∠CDB，
y=AD+DC+CB=2+8sin∠CBD+8sin∠CDB
=2+8sinα+8sin（π-α-C）
=2+8sinα+8sin（α+C）
=2+6sinα+2

15

cosα
=2+4

6

sin（α+θ）（其中cosθ=

6

4 6

，sinθ=

2 15

4 6

），
∴y=AD+DC+CB的最大值為2+4

6

，
則整個觀光棧道的最大值為（2+4

6

）百米．

點評：此題考查了正弦、余弦定理，以及同角三角函數(shù)間的基本關(guān)系，熟練掌握定理是解本題的關(guān)鍵．