Question

已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx+c（a≠0）滿足條件f（-x+5）=f（x-3），f（2）=0，且方程f（x）=x有兩個相等實根．問是否存在實數(shù)m、n（m＜n）使得f（x）的定義域為[m，n]時，值域為[3m，3n]．如果存在，求出m、n的值；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

考點：二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）根據(jù)已知條件分別列出三個方程聯(lián)立求得a和b和c的值．
（2）對n≤1，m≥1和m＜1，n＞1進行分類通論，根據(jù)二次函數(shù)的圖象找到函數(shù)的最大值和最小值表達式，聯(lián)立方程求得m和n進行驗證．

解答： 解：（1）∵f（-x+5）=f（x-3），
∴函數(shù)的對稱軸方程x=-

b

2a

=1，①，
f（2）=4a+2b+c=0，②，
∵方程f（x）=x有兩個相等實根．
∴對于f（x）-x=ax²+（b-1）x+c=0，△=（b-1）²-4ac=0，③
聯(lián)立①②③求得a=-

1

2

，b=1，c=0，
∴f（x）=-

1

2

x²+x，
（2）①當n≤1時，函數(shù)f（x）在[m，n]單調(diào)減，則

- 1 2 n2+n=3m - 1 2 m2+m=3n

，求得n=-4，m=-4，（與m＜n矛盾）或n=12，m=-20，與n≤1矛盾，
②當m≥1時，函數(shù)f（x）在[m，n]單調(diào)增，則

- 1 2 n2+n=3n - 1 2 m2+m=3m

，求得n=0或n=-4，均不符合題意，
同理當m＜1，n＞1時，3m=-

1

2

+1，m=

1

6

，
令f（m）=-

1

2

×

1

36

+

1

6

=

11

72

=3n，求得n＜1，不符合題意，
令f（n）=-

1

2

n²+n=3n，求得n=0或-4，與n＞1矛盾，
綜合可知不存在這樣的n和m，

點評：本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)．考查了學(xué)生的數(shù)形結(jié)合思想和分類討論思想的運用．