Question

已知函數(shù)f（x）=lnx-ax+

1-a

x

-1（a∈R）．
（1）當(dāng)a=-1時，求曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程；
（2）當(dāng)a≤12時，討論f（x）的單調(diào)性．

Answer 1

考點：利用導(dǎo)數(shù)研究曲線上某點切線方程,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性

專題：導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用

分析：（1）把a=-1代入函數(shù)解析式，求出函數(shù)導(dǎo)函數(shù)，得到函數(shù)在x=2時的導(dǎo)數(shù)，再求出f（2），然后利用直線方程的點斜式得答案；
（2）確定函數(shù)的定義域，求出原函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，然后對a分類討論，利用導(dǎo)數(shù)的正負，可確定函數(shù)的單調(diào)性．

解答： 解：（1）由f（x）=lnx-ax+

1-a

x

-1，得
f′（x）=

-ax2+x+a-1

x2

，當(dāng)a=-1時，f′（x）=

x2+x-2

x2

，
則f′（2）=

22+2-2

22

=1，
又f（2）=ln2+2+

2

2

-1=ln2+2，
∴曲線y=f（x）在點（2，f（2））處的切線方程為y-ln2-2=1×（x-2），
即x-y+ln2=0；
（2）函數(shù)f（x）的定義域為（0，+∞），
f′（x）=

-ax2+x+a-1

x2

，
當(dāng)a=0時，f′（x）=

x-1

x2

，
令f′（x）=

x-1

x2

＜0，∵x＞0，∴0＜x＜1，
∴函數(shù)f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)，在（0，1）上是減函數(shù)；
當(dāng)a＜0時，令f′（x）=

-ax2+x+a-1

x2

＞0，得-ax²+x-1+a＞0，解得x＞1或x＜

1

a

-1（舍去），
此時函數(shù)f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)，在（0，1）上是減函數(shù)；
當(dāng)0＜a＜

1

2

時，令f′（x）=

-ax2+x+a-1

x2

＞0，得-ax²+x-1+a＞0，解得1＜x＜

1

a

-1，
此時函數(shù)f（x）在（1，

1

a

-1）上是增函數(shù)，在（0，1）和（

1

a

-1，+∞）上是減函數(shù)；
當(dāng)a=

1

2

時，f′(x)=

- 1 2 x2+x- 1 2

x2

=-

1

2x2

(x-1)2≤0，
此時函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)．
綜上，當(dāng)a≤0時，函數(shù)f（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)，在（0，1）上是減函數(shù)；
當(dāng)0＜a＜

1

2

時，函數(shù)f（x）在（1，

1

a

-1）上是增函數(shù)，在（0，1）和（

1

a

-1，+∞）上是減函數(shù)；
當(dāng)a=

1

2

時，函數(shù)f（x）在（0，+∞）上是減函數(shù)．

點評：本題考查利用導(dǎo)數(shù)求過曲線上某點處的切線方程，考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，關(guān)鍵是做到對a正確分類，屬于中檔題．