Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和為S_n，且a₁=0，對(duì)任意n∈N^*，都有na_n+1=S_n+n（n+1）．
（1）求數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式；
（2）若數(shù)列{b_n}滿足a_n+log₂n=log₂b_n，求數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列的求和

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（1）由已知條件推導(dǎo)出na_n+1-（n-1）a_n=a_n+2n，從而得到數(shù)列{a_n}是以a₁=0為首項(xiàng)，公差為2的等差數(shù)列．由此能求出數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式．
（2）由bn=n•2an=n•4^n-1，利用錯(cuò)位相減法能求出數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和T_n．

解答： （本小題滿分14分）
解：（1）當(dāng)n≥2時(shí)，na_n+1=S_n+n（n+1），（n-1）a_n=S_n-1+n（n-1），…（1分）
兩式相減得na_n+1-（n-1）a_n=S_n-S_n-1+n（n+1）-n（n-1），…（3分）
即na_n+1-（n-1）a_n=a_n+2n，得a_n+1-a_n=2．…（5分）
當(dāng)n=1時(shí)，1×a₂=S₁+1×2，即a₂-a₁=2．…（6分）
∴數(shù)列{a_n}是以a₁=0為首項(xiàng)，公差為2的等差數(shù)列．
∴a_n=2（n-1）=2n-2．…（7分）
（2）∵a_n+log₂n=log₂b_n，
∴bn=n•2an=n•2^2n-2=n•4^n-1．…（9分）
∴Tn=40+2×4+3×42+…+n•4n-1，①
4T_n=4+2×4²+3×4³+…+n•4ⁿ，②…（11分）
①-②得-3T_n=4⁰+4+4²+…+4^n-1-n•4ⁿ
=

1-4n

1-4

-n•4n
=

(1-3n)•4n-1

3

．…（13分）
∴Tn=

1

9

[(3n-1)•4n+1]．…（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法，考查數(shù)列的前n項(xiàng)和的求法，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意錯(cuò)位相減法的合理運(yùn)用．