Question

【題目】已知函數(shù)函數(shù)與直線相切，設(shè)函數(shù)其中a、c∈R，e是自然對數(shù)的底數(shù).

（1）討論h(x)的單調(diào)性；

（2）h(x)在區(qū)間內(nèi)有兩個極值點.

①求a的取值范圍；

②設(shè)函數(shù)h(x)的極大值和極小值的差為M，求實數(shù)M的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）答案見解析（2）①②

【解析】

直接利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求得c值，得，求導(dǎo)，分類討論即可求解；
①函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有兩個極值點，，則在區(qū)間內(nèi)有兩個不同的根即可；②的極大值和極小值的差為進(jìn)行化簡分析．

設(shè)直線與函數(shù)相切與點，
函數(shù)在點處的切線方程為：，，
把，代入上式得，．
所以，實數(shù)c的值為2．

所以，

則，

當(dāng)時, ，

故函數(shù)在上單調(diào)遞減，無增區(qū)間，

當(dāng)時，，

，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，無減區(qū)間，

當(dāng)時，令，

解得，

所以當(dāng)或時，，當(dāng)時，，

所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

綜上，當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞減；

當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增；

當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.

由知，

設(shè)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有兩個極值點，，

令，

則，設(shè)

因為，故只需

所以，．
因為，
所以

．
由，得，且．
．
設(shè)，，令，
，
在上單調(diào)遞減，從而，
所以，實數(shù)M的取值范圍是.