Question

在三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，A₁A⊥平面ABC，A₁A=AB=AC=2，BC=2

2

，點(diǎn)D是BC的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求證：A₁B∥平面AC₁D
（Ⅱ）求點(diǎn)B到平面AC₁D的距離．

Answer 1

考點(diǎn)：點(diǎn)、線、面間的距離計(jì)算,直線與平面平行的判定

專題：綜合題,空間位置關(guān)系與距離

分析：（Ⅰ）連接A₁C交AC₁于E，連DE，則E為A₁C中點(diǎn)，欲證A₁B∥平面AC₁D，根據(jù)直線與平面平行的判定定理可知只需證A₁B∥平面AC₁D內(nèi)一直線平行，而DE∥A₁B，A₁B?平面AC₁D，DE?平面AC₁D，滿足定理?xiàng)l件；
（Ⅱ）利用等體積，可求點(diǎn)B到平面AC₁D的距離．

解答： （Ⅰ）證明：連接A₁C，設(shè)與AC₁交于點(diǎn)E，連接ED
在△A₁BC中，E為A₁C的中點(diǎn)，D為BC的中點(diǎn)
∴ED∥A₁B…（3分）
∵A₁B?平面AC₁D
ED?平面AC₁D
∴A₁B∥平面AC₁D…（5分）
（Ⅱ）解：∵A₁A⊥平面ABC
∴C₁C⊥平面ABC
在△ABC中，AB²+AC²=BC²，得∠BAC=

π

2

∵點(diǎn)D是BC 的 中點(diǎn)
∴S_△ABD=

1

2

S△ABC=1
∴VC1-ABD=

1

3

S△ABD•C1C=

2

3

…（8分）
∵VB-AC1D=VC1-ABD=

2

3

設(shè)B到平面AC₁D的距離為h，
∴

1

3

S△AC1D•h=

2

3

…（10分）
∵C₁C⊥AD，等腰△ABC中，AD⊥BC
又C₁C∩BC=C
∴AD⊥平面BCC₁B₁
∴AD⊥DC₁
可求AD=

2

，C₁D=

6

，S△AC1D=

3

∴h=

2

3

3

…（12分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了直線與平面平行的判定，以及點(diǎn)B到平面AC₁D的距離，考查空間想象能力、運(yùn)算能力和推理論證能力，屬于中檔題．