Question

如圖所示，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為矩形，PA⊥平面ABCD，點E在線段PC上，PC⊥平面BDE．
（Ⅰ）證明：BD⊥平面PAC；
（Ⅱ）若PA=1，AD=2，求三棱錐E-BCD的體積．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面垂直的判定

專題：綜合題,空間位置關系與距離

分析：（Ⅰ）先由線面垂直的性質(zhì)證出PA⊥BD與PC⊥BD，再由線面垂直的判定定理證明線面垂直即可；
（Ⅱ）設AC與BD的交點為O，連結(jié)OE，利用V_E-BCD=

1

3

S_△CEO•BD，可求三棱錐E-BCD的體積．

解答： （Ⅰ）證明：∵PA⊥平面ABCD，BD?面ABCD，
∴PA⊥BD．
∵PC⊥平面BDE，BD?平面BDE，
∴PC⊥BD．
又PA∩PC=P，∴BD⊥平面PAC．…（6分）
（Ⅱ）解：如圖，設AC與BD的交點為O，連結(jié)OE．

∵PC⊥平面BDE，∴PC⊥OE．
由（Ⅰ）知，BD⊥平面PAC，∴BD⊥AC，
由題設條件知，四邊形ABCD為正方形．
由AD=2，得AC=BD=2

2

，OC=

2

．
在Rt△PAC中，PC=

PA2+AC2

=

12+(2 2 )2

=3．
易知Rt△PAC∽Rt△OEC，
∴

OE

PA

=

CE

AC

=

OC

PC

，即

OE

1

=

CE

2 2

=

2

3

，∴OE=

2

3

，CE=

4

3

．
∴V_E-BCD=

1

3

S_△CEO•BD=

1

3

•

1

2

OE•CE•BD=

1

6

•

2

3

•

4

3

•2

2

=

8

27

．…（13分）

點評：本題考查線面垂直的判定定理與性質(zhì)定理，考查三棱錐體積的計算，考查學生分析解決問題的能力，難度中等．