Question

已知各項(xiàng)都是正數(shù)的等比數(shù)列{a_n}滿足a₇=a₆+2a₅，若存在不同的兩項(xiàng)a_m和a_n，使得a_m•a_n=16a₁²，則

1

m

+

4

n

的最小值是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：基本不等式在最值問(wèn)題中的應(yīng)用,等比數(shù)列的性質(zhì)

專題：綜合題,不等式的解法及應(yīng)用

分析：由a₇=a₆+2a₅ 求得q=2，代入a_m•a_n=16a₁²求得m+n=6，利用基本不等式求出它的最小值．

解答： 解：由各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{a_n}滿足a₇=a₆+2a₅，可得q²-q-2=0，∴q=2．
∵a_m•a_n=16a₁²，∴q^m+n-2=16，∴2^m+n-2=2⁴，∴m+n=6，
∴

1

m

+

4

n

=

1

6

（m+n）（

1

m

+

4

n

）=

1

6

（5+

n

m

+

4m

n

）≥

1

6

(5+4)=

3

2

，
當(dāng)且僅當(dāng)

n

m

=

4m

n

時(shí)，等號(hào)成立．
故

1

m

+

4

n

的最小值等于

3

2

，
故答案為：

3

2

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，基本不等式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．