Question

已知向量a＝(cos α，sin α)，b＝(cos x，sin x)，c＝(sin x＋2sin α，cos x＋2cos α)，其中0<α<x<π.

(1)若α＝，求函數(shù)f(x)＝b·c的最小值及相應(yīng)x的值；

(2)若a與b的夾角為，且a⊥c，求tan 2α的值．

Answer 1

∴f(x)＝b·c＝cos xsin x＋2cos xsin α＋sin xcos x＋2sin xcos α＝2sin xcos x＋(sin x＋cos x)．

令t＝sin x＋cos x(0<x<π)，則2sin xcos x＝t2－1，且－1<t≤.

則y＝g(t)＝t2＋t－1＝(t＋)2－，－1<t≤.

∴t＝－時(shí)，y取得最小值，且ymin＝－，此時(shí)sin x＋cos x＝－.

由于0<x<π，故x＝.所以函數(shù)f(x)的最小值為－，相應(yīng)x的值為.

(2)∵a與b的夾角為，∴cos ＝＝cos αcos x＋sin αsin x＝cos(x－α)．

∵0<α<x<π，∴0<x－α<π.∴x－α＝.

∵a⊥c，∴cos α(sin x＋2sin α)＋sin α(cos x＋2cos α)＝0.

∴sin(x＋α)＋2sin 2α＝0，sin(2α＋)＋2sin 2α＝0.

∴sin 2α＋cos 2α＝0.∴tan 2α＝－.