Question

19．直線y=2b與雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左支、右支分別交于B，C兩點(diǎn)，A為右頂點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若∠AOC=∠BOC，則該雙曲線的離心率為$\frac{\sqrt{19}}{2}$．

Answer 1

分析 利用條件得出∠AOC=60°，C（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$b，2b），代入雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，可得$\frac{\frac{4}{3}^{2}}{{a}^{2}}$-4=1，b=$\frac{\sqrt{15}}{2}$a，即可得出結(jié)論．

解答 解：∵∠AOC=∠BOC，
∴∠AOC=60°，
∴C（$\frac{2\sqrt{3}}{3}$b，2b），
代入雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1，可得$\frac{\frac{4}{3}^{2}}{{a}^{2}}$-4=1，∴b=$\frac{\sqrt{15}}{2}$a，
∴c=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$=$\frac{\sqrt{19}}{2}$a，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{19}}{2}$，
故答案為$\frac{\sqrt{19}}{2}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的方程與性質(zhì)，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．