Question

有下列命題：
①在函數(shù)y=cos（x-

π

4

）cos（x+

π

4

）的圖象中，相鄰兩個對稱中心的距離為

π

2

；
②若銳角α，β滿足cosα＞sinβ，則α+β＜

π

2

；
③若α，β均為第一象限角，且α＞β，則sinα＞sinβ；
④要得到函數(shù)y=sin（

x

2

-

π

4

）的圖象，只需將y=sin

x

2

的圖象向右平移

π

4

個單位；
則以上所有真命題的序號是

 

．

Answer 1

考點：正弦函數(shù)的圖象,函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：利用三角恒等變換、正弦函數(shù)的圖象的對稱性可得①正確；根據(jù)誘導公式、余弦函數(shù)的單調(diào)性可得②正確；通過舉反例可得③不正確；根據(jù)函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規(guī)律，可得④不正確，從而得出結(jié)論．

解答： 解：由于函數(shù)y=cos（x-

π

4

）cos（x+

π

4

）=cos（

π

4

-x）cos（x+

π

4

）=sin（x+

π

4

）cos（x+

π

4

）
=

1

2

sin（2x+

π

2

）=

1

2

cos2x，它的周期為

2π

2

=π，故函數(shù)的圖象中，相鄰兩個對稱中心的距離為

π

2

，
故①正確．
若銳角α，β滿足cosα＞sinβ=cos（

π

2

-β），則α＜

π

2

-β，∴α+β＜

π

2

，故②正確．
若α，β均為第一象限角，且α＞β，不妨令α=360°+30°，β=30°，顯然不滿足sinα＞sinβ，
故③不正確．
將y=sin

x

2

的圖象向右平移

π

4

個單位，可得函數(shù)y=sin

1

2

（x-

π

4

）=sin（

1

2

x-

π

8

）的圖象，
故④不正確，
故答案為：①②．

點評：本題主要考查三角函數(shù)的恒等變換及化簡求值，三角函數(shù)的周期性、對稱性、單調(diào)性，利用特殊值代入法，排除不符合條件的選項，是一種簡單有效的方法，屬于基礎(chǔ)題．