Question

已知數(shù)列{a_n}滿足：a₁=1，a_n+a_n+1=4n，S_n是數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)和．?dāng)?shù)列{b_n}前n項(xiàng)的積為T_n，且Tn=2

n(n+1)

2

（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）是否存在常數(shù)a，使得{S_n-a}成等差數(shù)列？若存在，求出a，若不存在，說(shuō)明理由；
（Ⅲ）是否存在m∈N*，滿足對(duì)任意自然數(shù)n＞m時(shí)，b_n＞S_n恒成立，若存在，求出m的值；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

考點(diǎn)：數(shù)列與不等式的綜合

專題：綜合題,等差數(shù)列與等比數(shù)列

分析：（Ⅰ）證明數(shù)列{a_n}隔項(xiàng)成等差數(shù)列，利用Tn=2

n(n+1)

2

，即可求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）利用反證法，即可判斷；
（Ⅲ）當(dāng)n＞4時(shí)，2ⁿ＞n²，利用二項(xiàng)式定理進(jìn)行證明．

解答： 解：（Ⅰ）由題知a_n+a_n+1=4n，∴a_n+1+a_n+2=4（n+1），∴a_n+2-a_n=4
即數(shù)列{a_n}隔項(xiàng)成等差數(shù)列，…1分
又a₁=1⇒a_n=3
∴當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，an=a1+4(

n+1

2

-1)=2n-1，
當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，an=a2+4(

n

2

-1)=2n-1…2分
∴對(duì)一切n∈N^*，a_n=2n-1…3分
又b₁=T₁=2，當(dāng)n≥2時(shí)bn=

Tn

Tn-1

=2n，且n=1時(shí)滿足上式，
∴對(duì)一切n∈N*，bn=2n…5分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知a_n=2n-1，數(shù)列{a_n}成等差數(shù)列，
∴Sn=

(a1+an)

2

=n2
∴Sn-a=n2-a，Sn+1-a=(n+1)2-a，Sn+2-a=(n+2)2-a…7分
若存在常數(shù)a，使得{S_n-a}成等差數(shù)列，則2（S_n+1-a）=（S_n-a+（S_n+2-a）在n∈N^*時(shí)恒成立
即2[（n+1）²-a]=n²-a+（n+2）²-a⇒4=2
∴不存在常數(shù)a 使數(shù)列{S_n-a}成等差數(shù)列 …9分
（Ⅲ）存在m=4使得當(dāng)n＞4時(shí)，b_n＞S_n恒成立，
即當(dāng)n＞4時(shí)，2ⁿ＞n²，證明如下：
2ⁿ=（1+1）ⁿ=1+

C

1 n

+

C

2 n

+…+

C

n-1 n

+

C

n n

+＞2（1+

C

1 n

+

C

2 n

）=2+2n+n（n-1）=n²+n+2＞n²．…13分．

點(diǎn)評(píng)：本題考查數(shù)列的通項(xiàng)與求和，考查不等式的證明，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力，屬于中檔題．