Question

若方程3^x=4-3x和log₃（x-1）³=4-3x的解分別為x₁和x₂，則x₁+x₂=

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)的零點(diǎn)與方程根的關(guān)系,函數(shù)的零點(diǎn)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：由題意可得方程3^x-1=

4-3x

3

 和 log₃（x-1）=

4-3x

3

的解分別為x₁和x₂，再根據(jù)函數(shù)y=3^x-1和函數(shù)y=log₃（x-1）互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱，令

4-3x

3

=x，求得x的值，可得x₁+x₂的值．

解答： 解：由題意可得方程3^x-1=

4-3x

3

 和 log₃（x-1）=

4-3x

3

的解分別為x₁和x₂，
設(shè)函數(shù)y=3^x-1的圖象和直線y=

4-3x

3

 的圖象交點(diǎn)為A，
函數(shù)y=log₃（x-1）的圖象和直線y=

4-3x

3

的交點(diǎn)為B，線段AB的中點(diǎn)為C，
則點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為

x1+x2

2

．
再根據(jù)函數(shù)y=3^x-1和函數(shù)y=log₃（x-1）互為反函數(shù)，它們的圖象關(guān)于直線y=x對(duì)稱，
故點(diǎn)C是直線y=

4-3x

3

和直線y=x的交點(diǎn)．
令

4-3x

3

=x，求得x=

2

3

，故點(diǎn)C的橫坐標(biāo)為

2

3

，∴x₁+x₂=

4

3

，
故答案為：

4

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查函數(shù)的零點(diǎn)和方程的根的關(guān)系，函數(shù)與它的反函數(shù)圖象間的關(guān)系，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于基礎(chǔ)題．