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17.已知函數(shù)g(x)=ax2-2ax+1+b(a>0).
(1)在區(qū)間[2,3]上的最大值為4,最小值為1,求實(shí)數(shù)a,b的值;
(2)若b=1,對(duì)任意x∈[1,2),g(x)≥0恒成立,則a的范圍;
(3)若b=1,對(duì)任意a∈[2,3],g(x)≥0恒成立,則x的范圍;
(4)在(1)的條件下記f(x)=g(|x|),若不等式f(log2k)>f(2)成立,求實(shí)數(shù)k的取值范圍.

分析 (1)根據(jù)對(duì)稱軸判斷g(x)在區(qū)間[2,3]上為單調(diào)增函數(shù),列出等式即可;
(2)對(duì)任意x∈[1,2),g(x)≥0恒成立即ax2-2ax+2≥0⇒a≤-2x2x;
(3)由題意g(x)=ax2-2ax+2=(x2-2x)a+2≥0;令h(a)═(x2-2x)a+2,即轉(zhuǎn)為關(guān)于a的一次函數(shù)求解;
(4)由(1)知g(x)=x2-2x+1;f(x)=g(|x|)=|x|2-2|x|+1,f(2)=1當(dāng)f(x)>1時(shí),解得x>2或x<-2;要使得f(log2k)>3,即:log2k>2或log2k<-2;

解答 解:(1)由題意知,g(x)的對(duì)稱軸為:x=1,開口朝上;
g(x)在[2,3]上單調(diào)遞增,故有{g2=1g3=4{4a4a+1+b=19a6a+1+b=4
解得:{b=0a=1 
(2)由b=1知,g(x)=ax2-2ax+2;
對(duì)任意x∈[1,2),g(x)≥0恒成立即ax2-2ax+2≥0⊕;
∴x∈[1,2)∴-1≤x2-2x<0;
化簡(jiǎn)⊕后:a≤-2x2x,令h(x)=-2x2x,即h(x)在x∈[1,2)上的最小值h(-1)=2;
∴a≤2;
(3)由b=1知,g(x)=ax2-2ax+2=(x2-2x)a+2≥0;
令h(a)═(x2-2x)a+2?;
①當(dāng)x2-2x=0,即 x=0或2,?式在a∈[2,3]時(shí)成立;
②當(dāng)x2-2x>0時(shí),即x<0或x>2,h(a)在[2,3]是增函數(shù),需h(2)≥0⇒(x2-2x)×2+2≥0
解得:x<0或x>2
③當(dāng)x2-2x<0 時(shí),即0<x<2,h(a)在[2,3]上是減函數(shù),需h(3)≥0⇒(x2-2x)×3+2≥0
解得:0<x≤1-33 或 1+33≤x<2
綜上所述:x≤1-33或≥1+33
(4)由(1)知g(x)=x2-2x+1;
f(x)=g(|x|)=|x|2-2|x|+1,f(2)=1
當(dāng)f(x)>1時(shí),解得x>2或x<-2
要使得f(log2k)>3,即:log2k>2或log2k<-2
解得:k>4或k<14

點(diǎn)評(píng) 本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、轉(zhuǎn)化思想、分類參數(shù)求最值以及偶函數(shù)性質(zhì)等綜合知識(shí)點(diǎn),屬中等題.

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