Question

已知函數(shù)f（x）=（

2

3

）^|x|-a
（1）求f（x）的單調(diào)區(qū)間；
（2）若f（x）的最大值等于

9

4

，求a的值．

Answer 1

考點(diǎn)：復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性,函數(shù)的最值及其幾何意義

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）令t=|x|-a，則f（x）=（

2

3

）^t，求出函數(shù)t的單調(diào)區(qū)間，可得f（x）的單調(diào)區(qū)間．
（2）由（1）可得，當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)f（x）取得最大值為(

2

3

)-a，再根據(jù)f（x）的最大值等于

9

4

，由此求得a的值．

解答： 解：（1）令t=|x|-a，則f（x）=（

2

3

）^t，故本題即求函數(shù)t的單調(diào)區(qū)間．
在（-∞，0）上，函數(shù)t為減函數(shù)，f（x）為增函數(shù)，故函數(shù)f（x）的增區(qū)間為（-∞，0）；
在[0，+∞）上，函數(shù)t為增函數(shù)，f（x）為減函數(shù)，故函數(shù)f（x）的減區(qū)間為[0，+∞）．
（2）由（1）可得，當(dāng)x=0時(shí)，函數(shù)f（x）取得最大值為(

2

3

)-a=

9

4

，∴a=2．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，利用單調(diào)性求函數(shù)的最值，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題．