Question

6．拋物線 M：y²=2px（p＞0）與橢圓 $N：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$有相同的焦點F，拋物線M與 橢圓N交于A，B，若F，A，B共線，則橢圓N的離心率等于$\sqrt{2}$-1．

Answer 1

分析 由題意可知：AF⊥x軸，$\frac{p}{2}$=c，代入拋物線方程即可求得A點坐標，代入橢圓方程，利用離心率公式即可求得橢圓N的離心率．

解答 解：如圖所示由F，A，B共線，
則AF⊥x軸，
由拋物線 M：y²=2px（p＞0）與橢圓 $N：\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$有相同的焦點F，
∴$\frac{p}{2}$=c，
把x=$\frac{p}{2}$，代入拋物線方程可得：y²=2p•$\frac{p}{2}$，解得：y=p．
∴A（$\frac{p}{2}$，p），即A（c，2c）．
代入橢圓的方程可得：$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{4{c}^{2}}{^{2}}=1$，
又b²=a²-c²，
∴$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{4{c}^{2}}{{a}^{2}-{c}^{2}}=1$，由橢圓的離心率e=$\frac{c}{a}$，
整理得：e⁴-6e²+1=0，0＜e＜1．
解得：e²=3-2$\sqrt{2}$，
∴e=$\sqrt{2}$-1，
故答案為：$\sqrt{2}$-1．

點評 本題考查橢圓的標準方程及簡單幾何性質，考查橢圓的離心率公式，考查數(shù)形結合思想，屬于中檔題．