Question

18．已知F是雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左焦點(diǎn)，過F作傾斜角為60°的直線l，直線l與雙曲線交于A，與y軸交于點(diǎn)B，且$\overrightarrow{FA}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{FB}$，則該雙曲線的離心率等于（　　）

• A． $\sqrt{3}$+1
• B． $\frac{\sqrt{3}+1}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{2}$+1
• D． $\frac{\sqrt{3}-1}{4}$

Answer 1

分析 求出雙曲線的左焦點(diǎn)，設(shè)出直線l的方程為y=$\sqrt{3}$（x+c），令x=0，可得B的坐標(biāo)，由向量共線的坐標(biāo)表示，可得A的坐標(biāo)，代入雙曲線方程，結(jié)合離心率公式及取值范圍，計(jì)算即可得到雙曲線的離心率．

解答 解：雙曲線$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左焦點(diǎn)F為（-c，0），
直線l的方程為y=$\sqrt{3}$（x+c），
令x=0，則y=$\sqrt{3}$c，
即B（0，$\sqrt{3}$c），設(shè)A（m，n），
由$\overrightarrow{FA}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{FB}$，可得（m+c，n）=$\frac{1}{2}$（c，$\sqrt{3}$c），
即有m=-$\frac{1}{2}$c，n=$\frac{\sqrt{3}}{2}$c．
即A（-$\frac{1}{2}$c，$\frac{\sqrt{3}}{2}$c），
代入雙曲線方程，可得$\frac{1}{4}$•$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{3}{4}$•$\frac{{c}^{2}}{^{2}}$=1，
由于e=$\frac{c}{a}$（e＞1），則e²-3•$\frac{{e}^{2}}{{e}^{2}-1}$=4，
化簡可得e⁴-8e²+4=0，
解得：e²=4±2$\sqrt{3}$，
由e＞1，解得：e=$\sqrt{3}$+1，
故選A．

點(diǎn)評 本題考查雙曲線的方程和性質(zhì)，主要考查求曲線的離心率的問題，同時(shí)考查向量共線的坐標(biāo)表示，屬于中檔題．