Question

設非空集合S具有如下性質(zhì)：

①元素都是正整數(shù)；②若x∈S，則10－x∈S.

(1)請你寫出符合條件，且分別含有1個、2個、3個元素的集合S各一個．

(2)是否存在恰有6個元素的集合S？若存在，寫出所有的集合S；若不存在，請說明理由．

(3)由(1)、(2)的解答過程啟發(fā)我們，可以得出哪些關于集合S的一般性結論(要求至少寫出兩個結論)?

Answer 1

[解析]　(1)由題意可知，若集合S中含有一個元素，則應滿足10－x＝x，即x＝5，故S＝{5}．

若集合S中含有兩個元素，設S＝{a，b}，則a，b∈N_＋，且a＋b＝10，故S可以是下列集合中的一個：

{1,9}，{2,8}，{3,7}，{4,6}，

若集合S中含有3個元素，由集合S滿足的性質(zhì)可知5∈S，故S是{1,5,9}或{2,5,8}或{3,5,7}或{4,5,6}中的一個．

(2)存在含有6個元素的非空集合S如下所示：

S＝{1,2,3,7,8,9}或S＝{1,2,4,6,8,9}或S＝{1,3,4,6,7,9}或S＝{2,3,4,6,7,8}共4個．

(3)答案不唯一，如：①S⊆{1,2,3,4,5,6,7,8,9}；②若5∈S，則S中元素個數(shù)為奇數(shù)個，若5∉S，則S中元素個數(shù)為偶數(shù)個．