Question

已知f（x）=

px2+2

3x+q

是奇函數(shù)，且f（2）=

5

3

．
（1）求實(shí)數(shù)p，q的值；
（2）證明函數(shù)f（x）在（-∞，-1）上是單調(diào)增函數(shù)，并判斷f（x）在（1，+∞）上的單調(diào)性．

Answer 1

考點(diǎn)：函數(shù)奇偶性的性質(zhì),函數(shù)單調(diào)性的判斷與證明

專(zhuān)題：計(jì)算題,證明題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）由題意知f（2）=

4p+2

6+q

=

5

3

，f（-2）=

4p+2

-6+q

=-

5

3

；從而解P，q；
（2）化簡(jiǎn)f（x）=

2

3

x2+1

x

；求導(dǎo)f′（x）=

2

3

（1-

1

x2

）；從而證明函數(shù)的單調(diào)性，再由奇偶性判斷函數(shù)的單調(diào)性．

解答： 解：（1）∵f（x）=

px2+2

3x+q

是奇函數(shù)，
∴f（2）=

4p+2

6+q

=

5

3

；
f（-2）=

4p+2

-6+q

=-

5

3

；
聯(lián)立解得，p=2，q=0；
（2）證明：f（x）=

2

3

x2+1

x

；
f′（x）=

2

3

（1-

1

x2

）；
∵x∈（-∞，-1），
∴1-

1

x2

＞0，
∴f′（x）＞0；
故函數(shù)f（x）在（-∞，-1）上是單調(diào)增函數(shù)；
再由f（x）是奇函數(shù)知，
f（x）在（1，+∞）上單調(diào)遞增．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了函數(shù)的性質(zhì)的判斷與應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．