Question

已知函數(shù)f（x）=sin

x

2

cos

x

2

-cos²

x

2

-

1

2

（Ⅰ）求函數(shù)f（x）的最小正周期和值域；
（Ⅱ）y=sinx經(jīng)過如何變換得到y(tǒng)=f（x）；
（Ⅲ）若f（α）=

3 2

10

，求sin2α的值．

Answer 1

考點(diǎn)：兩角和與差的正弦函數(shù),三角函數(shù)的周期性及其求法,函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：計(jì)算題,三角函數(shù)的求值,三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（Ⅰ）化簡可得f（x）=

2

2

sin（x-

π

4

）-1，從而可求函數(shù)f（x）的最小正周期和值域；
（Ⅱ）把y=sinx的圖象向右平移

π

4

個(gè)單位，可得y=sin（x-

π

4

）的圖象；再把所得圖象的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?span id="1661616" class="MathJye">

2

2

倍，橫坐標(biāo)不變，可得y=

2

2

sin（2x-

π

4

）的圖象；再把所得圖象向下平移1個(gè)單位，可得函數(shù)f（x）=

2

2

sin（x-

π

4

）-1的圖象．
（Ⅲ）由

2

2

sin（α-

π

4

）-1=

3 2

10

可得sin（α-

π

4

）=

5 2 +3

5

，cos²（α-

π

4

）=1-sin²（α-

π

4

）=

59+30 2

25

，從而可求sin2α的值．

解答： 解：（Ⅰ）f（x）=sin

x

2

cos

x

2

-cos²

x

2

-

1

2

=

1

2

sinx-

1+cosx

2

-

1

2

=

2

2

sin（x-

π

4

）-1，
故有：T=

2π

1

=2π，
∵-1≤sin（x-

π

4

）≤1
∴-1-

2

2

≤

2

2

sin（x-

π

4

）-1≤

2

2

-1
故函數(shù)f（x）的最小正周期為2π，值域是[-1-

2

2

，

2

2

-1]；
（Ⅱ）把y=sinx的圖象向右平移

π

4

個(gè)單位，可得y=sin（x-

π

4

）的圖象；
再把所得圖象的縱坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?span id="6661111" class="MathJye">

2

2

倍，橫坐標(biāo)不變，可得y=

2

2

sin（2x-

π

4

）的圖象；
再把所得圖象向下平移1個(gè)單位，可得函數(shù)f（x）=

2

2

sin（x-

π

4

）-1的圖象．
（Ⅲ）∵

2

2

sin（α-

π

4

）-1=

3 2

10

，
∴sin（α-

π

4

）=

5 2 +3

5

，cos²（α-

π

4

）=1-sin²（α-

π

4

）=

59+30 2

25

，
∴sin2α=cos（

π

2

-2α）=cos（2α-

π

2

）=cos[2（α-

π

4

）]=2cos2(α-

π

4

)-1=2×

59+30 2

25

-1=

93+60 2

25

．

點(diǎn)評：本題主要考查了兩角和與差的正弦函數(shù)，三角函數(shù)的周期性及其求法，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，屬于基本知識(shí)的考查，屬于中檔題．