Question

【題目】定義在R上的單調函數(shù)f（x）滿足：f（x+y）=f（x）+f（y），若F（x）=f（asinx）+f（sinx+cos2x﹣3）在（0，π）上有零點，則a的取值范圍是 ．

Answer 1

【答案】[2，+∞）
【解析】解：①令x=y=0，則f（0）=2f（0），則f（0）=0； 再令y=﹣x，則f（x﹣x）=f（x）+f（﹣x）=0，
且f（x）定義域為R，關于原點對稱．
∴f（x）是奇函數(shù)．
②F（x）=f（asinx）+f（sinx+cos2x﹣3）在（0，π）上有零點．
∴f（asinx）+f（sinx+cos2x﹣3）=0在（0，π）上有解；
∴f（asinx）=﹣f（sinx+cos2x﹣3）=f（﹣sinx﹣cos2x+3）在（0，π）上有解；
又∵函數(shù)f（x）是R上的單調函數(shù)，
∴asinx=﹣sinx﹣cos2x+3在（0，π）上有解．
∵x∈（0，π），
∴sinx≠0；
∴a= =sinx+ ﹣1；
令t=sinx，t∈（0，1]；
則a=t+ ﹣1；
∵y=t+ ， ＜0，因此函數(shù)y在（0，1]上單調遞減，
∴a≥2．
故答案為：[2，+∞）．
①令x=y=0，則f（0）=2f（0），則f（0）=0；再令y=﹣x，f（x）+f（﹣x）=f（0）=0，可得f（x）是奇函數(shù)．
②F（x）=f（asinx）+f（sinx+cos2x﹣3）在（0，π）上有零點．f（﹣sinx﹣cos2x+3）在（0，π）上有解；根據(jù)函數(shù)f（x）是R上的單調函數(shù)，asinx=﹣sinx﹣cos2x+3在（0，π）上有解．x∈（0，π），sinx≠0；a= =sinx+ ﹣1，令t=sinx，t∈（0，1]；則a=t+ ﹣1；利用導數(shù)研究其單調性即可得出．