Question

已知圓C經(jīng)過P（4，-2），Q（-1，3）兩點，且在y軸上截得的線段長為4

3

，半徑小于5．
（1）求直線PQ與圓C的方程；
（2）若直線l∥PQ，直線l與PQ交于點A、B，且以AB為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點，求直線l的方程．

Answer 1

考點：直線和圓的方程的應(yīng)用

專題：直線與圓

分析：（1）根據(jù)直線方程的點斜式求解所求的直線方程是解決本題的關(guān)鍵，根據(jù)待定系數(shù)法設(shè)出圓心坐標(biāo)和半徑，尋找未知數(shù)之間的關(guān)系是求圓的方程的關(guān)鍵，注意弦長問題的處理方法；
（2）利用直線的平行關(guān)系設(shè)出直線的方程，利用設(shè)而不求的思想得到關(guān)于所求直線方程中未知數(shù)的方程，通過方程思想確定出所求的方程，注意對所求的結(jié)果進行驗證和取舍．

解答： 解：（1）直線PQ的方程為y-3=

3+2

-1-4

×（x+1）
即直線PQ的方程為x+y-2=0，
C在PQ的中垂線y-

3-2

2

=1×（x-

4-1

2

）
即y=x-1上，
設(shè)C（n，n-1），則r²=|CQ|²=（n+1）²+（n-4）²，
由題意，有r²=（2

3

）²+|n|²，
∴n²+12=2n²-6n+17，
∴n=1或5（舍去），r²=13或37（舍去），
∴圓C的方程為（x-1）²+y²=13．
（2）設(shè)直線l的方程為x+y+m=0，
由

x+y+m=0 (x-1)2+y2=13

，
得2x²+（2m-2）x+m²-12=0，
設(shè)A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
則x₁+x₂=1-m，x₁x₂=

m2-12

2

，
∵以AB為直徑的圓經(jīng)過坐標(biāo)原點，∴∠AOB=90°，∴x₁x₂+y₁y₂=0
∴x₁x₂+（x₁+m）（x₂+m）=0，整理得m²+m-12=0，
∴m=3或-4（均滿足△＞0），
∴l(xiāng)的方程為x+y+3=0或x+y-4=0．

點評：本題考查直線與圓的綜合問題，考查直線方程的求解方法和圓方程的求解方法，注意待定系數(shù)法的運用，考查學(xué)生對直線與圓相交弦長有關(guān)問題的處理方法，考查設(shè)而不求思想的運用，考查方程思想和轉(zhuǎn)化與化歸的思想．