Question

已知兩曲線f（x）=x³+ax，g（x）=ax²+bx+c都經過P（1，2），在點P有公切線．
（1）求a，b，c的值；
（2）設k（x）=

f(x)

g(x)

，求k′（-2）的值．

Answer 1

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程,導數的運算

專題：計算題,導數的綜合應用

分析：（1）先由曲線y=x³+ax經過點P（1，2），求得a值，進而利用導數的幾何意義求得曲線y=x³+ax經過點P（1，2）的切線方程l；再由y=x²+bx+c經過點P（1，2）的切線方程也是l，可求得b、c的值；
（2）求導數，代入，即可求k′（-2）的值．

解答： 解：（1）將P（1，2）代入兩曲線y=x³+ax和y=x²+bx+c，得

a=1 b+c=1

設f（x）=x³+x，g（x）=x²+bx+c
∵f′（x）=3x²+1，∴f′（1）=4，
∵g′（x）=2x+b，∴g′（1）=2+b
∵兩曲線在點P處有公切線
∴f′（1）=g′（1）=2+b=4，
∴b=2，c=-1；
（2）k（x）=

f(x)

g(x)

=

x3+x

x2+2x-1

，
∴k′（x）=

(3x2+1)(x2+2x-1)-(x3+x)(2x+2)

(x2+2x-1)2

，
∴k′（-2）=

13×(-1)-(-8-2)×(-2)

1

=-33．

點評：本題考查導數知識的綜合運用，考查導數的幾何意義，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．